大鳥居には月と太陽の紋章がある

大鳥居の笠木の両端には月と太陽の紋章が描かれています。
この月と太陽は「陰陽道の影響」と言われているのですが、詳細は分かっていません。

大鳥居の東側には太陽。
これは太陽が東から昇るからでしょうね。
ちなみに厳島の東には「伊勢神宮」があります。

大鳥居の西側には三日月。
三日月は新月から数えて三日目の「月」のことです。
日本ではかつては太陰暦を採用していて、一ヶ月は「月の満ち欠け一周分」の意味でした。よって毎月１日は必ず新月。毎月１５日は必ず満月です。だから「三日月」です。まぁ、これは完全な余談でしたね。

太陽は東から昇るものですから、東にあるとするならば、西側に月があるのは、太陽の反対側だから、程度のことじゃないかと思います。月は満ち欠けし、新月なって消えても、また満月へと盛り返していくことから「永遠の命」という意味があります。
厳島神社と太陽と月がどう関係しているか？
全然わかっていない。
現在の厳島神社の祭神は「宗像三女神」であり、太陽とも月とも関係ありませんが、清盛の時代に祀っていた神は宗像ではありません。その時の神様は「太陽と月」に関係があったのでしょうか？　実は全然分かっていません。

実は千畳閣にも月と日の意匠があります。