将監…厳島神社では舞人の責任者のことを指す

本来は近衛府の判官のこと。近衛府は宮中の警固、天皇の行幸時（行幸は移動のこと）に付いていく役目。天皇の旅行時の護衛ってことね。よって将監は警護・護衛の責任者ってところですね。将監には左近将監と右近将監があり、これはそれぞれが左近衛将監・右近衛将監の略。略っても1文字しか略されていないんですが。ちなみに日本は伝統的に「左が上」なので左近将監の方が地位は上です。
朝廷の警護を担当するのだから、本来は武人の仕事ですが、厳島神社では意味が違う。

厳島神社では将監は「舞人」の責任者のこと。

厳島神社では平安時代から雅楽（音楽と舞）を儀式でしていました。現在でも宮島の神社の祭りではよく雅楽があります。その舞をする人たちを管理する責任者を「将監」と呼んでいます。
左近と右近
厳島神社の将監には朝廷と同じように左近将監と右近将監があります。どう違うかと言いますと、左近将監は中国式の舞の責任者。右近将監は朝鮮式の舞の責任者。上にも書きましたが日本では「左が上」なのものですから、左近将監の方が地位は上。つまり厳島神社は中国式の舞を「上」とみなしていたってことです。当然っちゃ当然ですが。

ちなみに戦国時代に厳島神社の権力者となった棚守房顕は左近将監。
つまり中国式舞の責任者です。